Aylin’in terazinin sağ ve sol kefesine bu kütleleri kaç farklı şekilde yerleştirebileceğini belirleyiniz. Bu durumlara uygun sayı cümlelerini yazınız.

1 kg
4 kg
5 kg
7 kg
8 kg
9 kg

Aylin; terazinin her iki kefesine, her birinden birer tane olan görseldeki kütleleri kullanarak teraziyi dengeye getirmek istiyor. Aylin’in terazinin sağ ve sol kefesine bu kütleleri kaç farklı şekilde yerleştirebileceğini belirleyiniz. Bu durumlara uygun sayı cümlelerini yazınız.

Çözüm

Elimizdeki kütleler: 1, 4, 5, 7, 8, 9 (her birinden birer tane var ve hepsi kullanılacak).

Terazinin dengede olması için sağ ve sol kefedeki toplam kütleler eşit olmalıdır.
Önce tüm kütlelerin toplamını buluruz:

1 + 4 + 5 + 7 + 8 + 9 = 34

Toplam 34 kg olduğuna göre denge için her kefede:

34 ÷ 2 = 17 kg

Yani amaç, bu kütleleri iki gruba ayırıp her iki grubun toplamını 17 yapmaktır.

Şimdi 17 eden grupları bulalım:

• 9 + 8 = 17
  Bu durumda diğer tarafta kalanlar: 1 + 4 + 5 + 7 = 17
• 9 + 7 + 1 = 17
  Bu durumda diğer tarafta kalanlar: 4 + 5 + 8 = 17

Bu iki farklı denge paylaşımı vardır. Ancak “sağ ve sol kefeye yerleştirme” dendiği için, her paylaşımın sağa-sola ters çevrilmiş hali de farklı sayılır.

Bu nedenle toplam 4 farklı yerleştirme vardır.

✅ Cevap: 4 farklı şekilde

Bu durumlara uygun sayı cümleleri

1. 9 + 8 = 7 + 5 + 4 + 1
2. 7 + 5 + 4 + 1 = 9 + 8
3. 9 + 7 + 1 = 8 + 5 + 4
4. 8 + 5 + 4 = 9 + 7 + 1

Bu soru, “eşit kollu terazi” mantığıyla ilgilidir ve aslında matematikteki çok önemli bir fikri ölçer: Toplamı eşit iki gruba ayırma. Aylin’in elinde 1 kg, 4 kg, 5 kg, 7 kg, 8 kg ve 9 kg’lık kütleler vardır. Ayrıca soru “her birinden birer tane olan kütleleri kullanarak” dediği için şu iki noktayı kesin kabul ederiz: Birincisi, her kütleden yalnızca bir tane vardır ve tekrar edilemez. İkincisi, Aylin teraziyi dengelemek istediğine göre kütlelerin bir kısmını kenarda bırakmak yoktur; hepsi sağ ve sol kefeye dağıtılacaktır.

Terazinin dengede kalması için temel kural şudur: Sağ kefedeki toplam kütle = sol kefedeki toplam kütle. Bu yüzden işe önce tüm kütlelerin toplamını bularak başlarız. Çünkü tüm kütleler kullanılacağı için iki kefenin toplamı birlikte bu sayıyı verecektir. Verilen kütleleri topladığımızda 34 kg eder. Denge sağlanabilmesi için bu 34 kg, iki kefeye eşit paylaştırılmalıdır. 34’ün yarısı 17 olduğundan her kefede 17 kg olmalıdır. Buraya kadar ulaştığımız sonuç çok kritiktir: Artık problem “17 kg yapacak iki grup oluşturma” problemine dönüşür.

Şimdi yapılması gereken, 1, 4, 5, 7, 8, 9 sayılarından bazılarını seçip 17 yapan kombinasyonları bulmaktır. Bu aşamada düzenli düşünmek gerekir. En büyük sayı 9 olduğu için 17’ye ulaşmak için 9’un yanına ya 8 eklenir (9+8=17) ya da 9’un yanına daha küçük sayıların toplamı eklenir. 9+8 tam 17 yaptığı için çok net bir ilk grup oluşur: {9, 8}. Bu durumda diğer kefeye kalan kütleler otomatik olarak {1, 4, 5, 7} olur ve onların toplamı da 17’dir. Yani bir denge durumu kesinleşir.

Başka denge olup olmadığını görmek için 9’u farklı şekilde kullanmayı deneriz. 9’un yanına 7 eklersek 16 olur, 17’ye ulaşmak için 1 daha gerekir. Bu da ikinci bir dengeyi verir: {9, 7, 1} toplamı 17’dir. Bu grubun karşısında kalan kütleler {4, 5, 8} olur ve onların toplamı da 17’dir. Böylece ikinci farklı paylaşımı buluruz.

Burada önemli bir ayrım vardır: Aslında “paylaşım” bakımından iki farklı grup bölüşümü vardır; ancak soru “sağ ve sol kefeye kaç farklı şekilde yerleştirebilir?” dediği için kefelerin yer değiştirmesi farklı bir durum sayılır. Örneğin {9,8} sol kefedeyken {1,4,5,7} sağ kefedeyse bir yerleştirmedir; bunun tersinde {1,4,5,7} sol, {9,8} sağ olursa bu da ayrı bir yerleştirme olur. Aynı şey ikinci paylaşım için de geçerlidir. Bu yüzden 2 paylaşım × 2 yön (sağ-sol) = 4 farklı yerleştirme elde edilir.

Son olarak “sayı cümleleri” istenmiştir. Sayı cümlesi, dengeyi bir eşitlik şeklinde yazmaktır. Bu yüzden her yerleştirme için sol toplam = sağ toplam biçiminde dört eşitlik yazılır. Böylece hem kaç farklı yerleştirme olduğu hem de her birinin matematiksel ifadesi eksiksiz verilmiş olur.