Bunun için sadece kenar uzunluğu 1 dm olan fayanslar kullanılabildiğine göre, x ve y sırası ile aşağıdakilerden hangisi olabilir?

x ve y birer tam sayı olmak üzere kenar uzunlukları x dm ve y dm olan bir dikdörtgenin alanı kenar uzunlukları desimetre cinsinden tam sayı olan kare şeklindeki fayanslarla, fayanslar kırılmaksızın kaplanacaktır.

Bunun için sadece kenar uzunluğu 1 dm olan fayanslar kullanılabildiğine göre, x ve y sırası ile aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 18, 15
B) 16, 25
C) 12, 21
D) 33, 22

Soruyu Anlama ve Çözüm

Soru: Verilen dikdörtgeni, kenar uzunluğu 1 dm olan kare fayanslarla tam olarak kaplamak istiyoruz. Bu durumda, dikdörtgenin kenar uzunlukları olan x ve y sayıları hangi seçenekte bu koşulu sağlıyor?

Çözüm:

• Fayansların Özelliği: Tüm fayansların kenar uzunluğu 1 dm. Yani, dikdörtgeni kaplamak için sadece 1 dmlik bölümlere ayırmamız gerekiyor.
• Şart: Dikdörtgenin kenar uzunlukları (x ve y) tam sayı olmalı ve fayanslarla tam olarak kaplanabilmeli. Bu, x ve y’nin 1 dmlik bölümlere tam olarak bölünebilmesi anlamına gelir.
• Aralarında Asal Sayılar: Eğer iki sayı aralarında asal ise, sadece 1 sayısı ile ortak bölenleri vardır. Bu durumda, bu iki sayının çarpımı olan bir alanı, ortak bölenleri 1 olan daha küçük parçalara ayırmak mümkün değildir.

Neden B Seçeneği Doğru?

• 16 ve 25: Bu sayılar aralarında asaldır. Yani, sadece 1 sayısı ile ortak bölenleri vardır. Bu durumda, 16×25 = 400 dm²lik bir alanı, sadece kenar uzunluğu 1 dm olan kare fayanslarla tam olarak kaplayabiliriz.

Diğer Seçeneklerin Neden Yanlış Olduğu:

• A, C ve D seçeneklerindeki sayılar: Bu seçeneklerdeki sayılar aralarında asal değildir. Örneğin, 18 ve 15 sayılarının ortak bölenleri 1, 3 ve 9’dur. Bu durumda, 18×15 = 270 dm²lik bir alanı, sadece kenar uzunluğu 1 dm olan kare fayanslarla tam olarak kaplamak mümkün değildir. Çünkü bazı bölgelerde 3 dm veya 9 dm gibi daha büyük parçalar oluşacaktır ve bu parçaları 1 dmlik kare fayanslarla tam olarak dolduramayız.

Sonuç:

Verilen şartları sağlayan tek seçenek B) 16, 25’tir. Çünkü sadece bu seçenekteki sayılar aralarında asal olup, dikdörtgeni tam olarak 1 dmlik kare fayanslarla kaplayabilmemizi sağlar.

Ek Bilgi:

• Aralarında Asal Sayılar: İki sayının sadece 1 sayısı ile ortak böleni varsa, bu sayılar aralarında asal sayılar olarak adlandırılır.
• EBOB (En Büyük Ortak Bölen): İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne EBOB denir. Aralarında asal sayıların EBOB’u 1’dir.