22 ile x tam sayısının en küçük ortak katı 330’dur. Buna göre, x’in alabileceği değerler toplamı kaçtır?

22 ile x tam sayısının en küçük ortak katı 330’dur. Buna göre, x’in alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) 195
B) 320
C) 525
D) 540

Anlayalım:

• En Küçük Ortak Kat (EKOK): İki veya daha fazla sayının hepsinin tam böleni olan en küçük doğal sayıdır.
• Soru: 22 ile x sayısının EKOK’u 330 ise, x’in alabileceği tüm değerlerin toplamı nedir?

Çözüm:

1. 330 Sayısının Asal Çarpanlarına Ayrıştırılması:
   • 330 = 2 x 3 x 5 x 11
2. 22 Sayısının Asal Çarpanlarına Ayrıştırılması:
   • 22 = 2 x 11
3. EKOK’un Özelliği:
   • EKOK, ortak olan asal çarpanların en yüksek kuvvetleri ile ortak olmayan asal çarpanların çarpımıdır.
   • 330’da 2 ve 11’in kuvvetleri 1’dir. O halde, x sayısı 3 ve 5 asal çarpanlarını mutlaka içermelidir.
4. x Sayısının Olası Durumları:
   • x sayısı, 3 ve 5’e ek olarak, 2 ve 11’den birini veya her ikisini de içerebilir.
   • Durum 1: x = 3 x 5 = 15
   • Durum 2: x = 2 x 3 x 5 = 30
   • Durum 3: x = 3 x 5 x 11 = 165
   • Durum 4: x = 2 x 3 x 5 x 11 = 330
5. x’in Alabileceği Değerlerin Toplamı:
   • 15 + 30 + 165 + 330 = 540

Cevap:

• x’in alabileceği değerlerin toplamı 540‘tır.

Doğru Cevap: D

Özetle:

• Problemde EKOK kavramı kullanılarak x sayısının olası değerleri belirlenmiştir.
• x sayısının 3 ve 5 asal çarpanlarını mutlaka içermesi gerektiği ve 2 ile 11’den birini veya her ikisini de içerebileceği sonucuna varılmıştır.
• Tüm olası durumlar için x’in değeri hesaplanarak toplamı bulunmuştur.